D · 形式化推导

1.112026-08-29

D.1 · 名义旗舰的守恒误差

旗舰方程 (17) 对 $i \in \mathcal{I}$ 成立： $\Theta_i(t) = \mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}_i(t_0) + k_{\mathrm{ri}}\bigl(\mathrm{RI}_i(t) - \overline{\mathrm{RI}}(t)\bigr) + \mathrm{BR}_i(t)$ 。对纳入集合求和并利用 $\sum_{i \in \mathcal{I}} \bigl(\mathrm{RI}_i(t) - \overline{\mathrm{RI}}(t)\bigr) = 0$ ，我们得到精确形式的守恒定律

\sum_{i\in\mathcal{I}}\Theta_i(t) \;=\; \sum_{i\in\mathcal{I}}\mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}_i(t_0) \;+\; \sum_{i\in\mathcal{I}}\mathrm{BR}_i(t).

已发布的名义线（第 6.7 节）是 $\widetilde{\Theta}_i(t) = \Theta_i(t) + \widetilde\eta_i(t)$ （展示层的双值过程，第 6.8 节）。因为展示噪声 $\widetilde\eta_i(t)$ 是一个在 $\mathcal{I}$ 上平衡、零均值、展示方差以 $\sigma_0^2$ 为界的过程，名义旗舰满足近似守恒定律

\left|\;\sum_{i\in\mathcal{I}}\widetilde{\Theta}_i(t) - \sum_{i\in\mathcal{I}}\mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}_i(t_0)\;\right| \;\le\; \left|\sum_{i\in\mathcal{I}}\mathrm{BR}_i(t)\right| + o_{\mathbb P}(1), \tag{34}

其中 $o_{\mathbb P}(1)$ 在纳入集合上的展示均值集中在零附近时消失。这正是定位说明中“ $\Sigma\Theta \approx \Sigma\mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}$ ”一语的精确含义，其论证见第 5.6 节。注意调整后锚已包含离散的 $D$ 调整；第 10.3 节的连续结算会重新锚定，在每个结算时刻恢复 $\sum \Theta = \sum \mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}$ （算法 5）。

D.2 · 实时信号的更新动力学

固定一个单位 $i$ ，为推导起见固定单个事件 $e$ ，幅值 $A_e$ 、开始时间 $t_e$ 、半衰期 $T_{1/2}(e)$ 。(16) 中的更新包络在 $t \ge t_e$ 时贡献 $A_e\, 2^{-(t-t_e)/T_{1/2}(e)}$ 。令 $\rho_e(t) = \ln 2 \cdot (t - t_e)/T_{1/2}(e)$ ；则该贡献满足常微分方程

\frac{d}{dt}\Bigl(A_e 2^{-\rho_e(t)}\Bigr) \;=\; -\,\frac{\ln 2}{T_{1/2}(e)}\;\Bigl(A_e 2^{-\rho_e(t)}\Bigr), \qquad \frac{d}{dt}\Bigl(A_e 2^{-\rho_e(t)}\Bigr)\Big|_{t=t_e^+} \;=\; -\frac{\ln 2}{T_{1/2}(e)}\,A_e ,

即更新时刻之间以速率常数 $\lambda_e = \ln 2 / T_{1/2}(e)$ 的纯指数衰减，在 $t_e$ 处有一个大小为 $A_e$ 的向上跳跃。第 6.6 节的更新规则所陈述的正是：一个残差贡献大于新脉冲的重复事件，会在更晚的开始时间用新脉冲替换残差：

A_e\,2^{-\rho_e(t)} \;\le\; A_{e'}\,2^{-\rho_{e'}(t)} \quad\Rightarrow\quad \bigl(\text{在 } t_{e'} \text{ 更新}\bigr):\; A_e\,2^{-\rho_e(t)} \;\leftarrow\; 0 \text{ 对 } t\ge t_{e'} .

因此， $\mathrm{RI}_i(t)$ 是一个右连左极（càdlàg）过程，按段指数衰减，其跳跃非负、发生在事件起始处，并通过更新规则自我约束。这一结构保证：(i) 只要所有初始脉冲非负且更新规则单调， $\mathrm{RI}_i(t)$ 就非负；(ii) 热度包络 $\mathrm{H}_i(t)$ （同一包络、 $|A_e|$ ）支配带符号信号，对所有 $t$ 有 $|\mathrm{RI}_i(t)| \le \mathrm{H}_i(t)$ ，即命题 6.14；(iii) 截面均值 $\overline{\mathrm{RI}}(t)$ 同样遵循更新规则，因此 (17) 中的居中项在命题 6.12 的意义上有界。

D.3 · 来源互换与熔断器迁移

观测层与任何单一来源解耦（第 6.2 节）。形式上，假设因子 $x_{i,k}$ 由来源 $k$ 以权重 $w_k$ 计算，熔断器切换到权重为 $w_{k'}$ 的冗余来源 $k'$ ，使得 $w_k = w_{k'}$ （同类互换）或 $w_{k'}$ 是表 3 的默认权重。因子层面效应以来源间差异为界：

|\hat v(x_{i,k}) - \hat v(x_{i,k'})| \;\le\; \Delta_k, \qquad \Delta_k := \max_{i\in\mathcal{I}} |\hat v(x_{i,k}) - \hat v(x_{i,k'})| .

因为尺度契约在 $[0,1]$ 中单调且有界（第 6.3 节），且每个因子以权重 $w_k$ 线性进入锚，任何单一来源互换的锚层面效应是

|\Delta \mathrm{FA}_i^{adj}| \;\le\; \bigl(\text{聚合增益}\bigr) \cdot \sum_{k \in \text{互换}} w_k\, \Delta_k ,

其中聚合增益是沿因子到 $\mathrm{FA}^{\mathrm{adj}}$ 路径上构成权重的乘积（第 6.5 节）。因为 $\Delta_k \le 1$ 且权重之和 $\le 1$ ，锚关于来源间差异满足利普希茨条件：没有任何单一来源能把任何锚移动超过其自身权重与最坏差异之积，双轨审计（算法 7）在 $\Delta_k$ 超过告警阈值时检测互换。这是“没有单一来源承重”主张的定量形式，也是对账检验（算法 7）的基础。

D.4 · 权重敏感性与 Leamer 前沿

设 $\mathrm{FA}_i(\beta)$ 表示锚作为 V1 构成权重 $\beta$ （每个组内归一化到和为 1）的函数。对固定的纳入集合，两个单位 $i, j$ 的排名在权重扰动 $\beta \mapsto \beta + \delta$ 下不变，只要 $\mathrm{FA}_i(\beta+\delta) > \mathrm{FA}_j(\beta+\delta)$ 。使排序反转的权重集构成权重空间中的一个半空间；它到 $\beta$ 的相对度量距离，度量着排序的稳健程度。沿用 Leamer 的传统 (Leamer, 1983)，将数对 $(i,j)$ 的反转半径定义为

r_{ij} \;=\; \inf\Bigl\{\, \|\delta\|_1 / \|\beta\|_1 : \mathrm{FA}_i(\beta+\delta) \le \mathrm{FA}_j(\beta+\delta) \Bigr\}.

一个排名是权重稳健的，如果对所有相邻对 $(i,j)$ ， $r_{ij}$ 超过合理的扰动尺度。第 8.7 节的敏感性表报告整个榜单上的最小反转半径；蒙特卡洛与极端边界分析（算法 11）估计冻结 V1 权重及其不确定性下 $r_{ij}$ 的分布。这给出一个建设性的定量验收标准：如果最小相邻反转半径超过既定阈值、且蒙特卡洛集合上排名变化的分布有界，榜单排名就被接受为稳健。

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